Fontecchio, sabato 13  aprile 2019

Ferdinando Casolaro e Renata Santarossa (Na)
Un affascinante racconto della Matematica: la storia della Mathesis

slide n.1

5° Simposio Matematica e Natura

Bellezza e fascino della Matematica

Ferdinando Casolaro Renata Santarossa

ferdinando.casolaro@unina.it renata.santarossa@unina.it

Un affascinante racconto della Matematica

la storia della Mathesis

Convento di San Francesco Fontecchio (L’Aquila)

12-13-14 aprile 2019

 

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Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova applicazione nello spazio fisico.

Già nel 1854, Riemann, dedusse che lo studio della geometria non si può astrarre dall'evoluzione fisica.

In uno spazio in cui la curvatura cambia da un luogo all'altro per la presenza della materia, e da un istante all'altro per il moto della materia, le leggi della geometria euclidea non sono valide. Pertanto, per determinare la vera natura dello spazio fisico, si deve associare fra loro spazio e materia (e di conseguenza il tempo).

A tale scopo, così si esprimeva:

"O la realtà soggiacente lo spazio forma una varietà discreta, oppure bisognerà cercare il fondamento delle sue relazioni metriche fuori di esso, nelle forze connettive che vi agiscono. Questo ci porta nel dominio di un’altra scienza, quella della fisica, in cui l’oggetto delle nostre ricerche non ci consente di entrare oggi"

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Cinquant’anni di attività della Mathesis

Evoluzione politica e sviluppo scientifico dal 1959 al 2008

La Mathesis è un’associazione nazionale caratterizzata come Società italiana di Scienze Matematiche e Fisiche fondata nel 1895.

Nell’articolo 1 del suo Statuto si legge esplicitamente:

Lo scopo precipuo dell’associazione è la valorizzazione ed il progresso dello insegnamento della Matematica e, più in generale, dello insegnamento scientifico.

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Perché la Mathesis?

- Quasi tutti i grossi esponenti del mondo matematico operanti nel XX secolo hanno avuto un ruolo (o hanno pubblicato) nella Mathesis.

- L’influenza della Politica sui diversi modi e contenuti relativi alla divulgazione della Matematica ha avuto come protagonisti i vari Presidenti dell’associazione che si sono succeduti.

- I dibattiti sull’insegnamento della Geometria, parallelamente all’evoluzione tecnico-scientifica dovuta all’industrializzazione ed alle tecnologie, si sono avuti all’interno della Mathesis e dell’UMI.

- Il primo matematico che sentì l’esigenza di introdurre gli elementi di Analisi Matematica nella Scuola secondaria (essenziali per uno studio corretto dei fenomeni fisici) è stato Guido Castelnuovo, Presidente Mathesis dal 1911 al 1914. A causa degli eventi successivi, il discorso fu ripreso nella seconda metà del secolo

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Storia, Politica e Mathesis

L’idea di realizzare un’associazione avente per scopo il miglioramento dell’insegnamento delle discipline scientifiche cominciò a farsi strada alla fine del XIX secolo, in quanto negli anni successivi all’Unità d’Italia la Scuola italiana si dibatteva in gravi difficoltà, anche per la carenza di docenti di Matematica e Fisica.

Addirittura ci fu una riduzione dei programmi, per cui si sentiva la necessità di organizzare

una scuola pubblica ampiamente accessibile e formativa.

Successivamente, l’avvio dell’industrializzazione rese evidente la necessità di irrobustire i

contenuti nell’insegnamento secondario e quindi di prestare maggiore attenzione alla

preparazione degli insegnanti. Particolarmente carente si rivelava l’insegnamento della

Matematica e delle discipline scientifiche.

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Nascita della Mathesis e valori etici

Il primo Presidente della Storia della Mathesis fu Rodolfo Bettazzi, docente di Matematica e Fisica al liceo Classico «Cavour» di Torino, fervente cattolico che poneva alla base dell’insegnamento i valori etici per cui, parallelamente al contributo per nascita della Mathesis, nel 1894 fondò la «Lega per la Pubblica Moralità».

Nel 1900 fu eletto presidente Giovanni Frattini, docente di Geometria Proiettiva all’Istituto tecnico di Roma, che nel 1901 organizzò a Livorno il Congresso della "Mathesis", sul tema:

I cambiamenti da introdurre nell’insegnamento universitario per ottenere buoni insegnanti di Matematica (attuale, ciò che ci vorrebbe oggi)

In questa circostanza Frattini propose anche la discussione su

«quale Geometria si dovesse insegnare».

Ne seguì un interessante dibattito sull’esigenza di ampliare il modello euclideo con i primi cenni di Geometria Proiettiva in tutti gli indirizzi della scuola. Fino ad allora la Geometria Proiettiva era il pilastro dell’insegnamento negli Istituti Tecnici, ma non nei licei.

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Prime discussioni sui limiti della Geometria euclidea

Nel settembre del 1898 la "Mathesis" promuove a Torino "Il primo Convegno italiano dei Professori di Matematica", presieduto da Enrico D’Ovidio (già allievo di Peano), che focalizza il suo interesse su:

1. lo studio critico dei testi scolastici,
2. l’adozione di un linguaggio comune nell’insegnamento della Matematica,
3.
l’utilizzo del modello euclideo in Geometria che si metteva in discussione come "non unico" modello da proporre per l’insegnamento nei licei.

Relativamente al punto (3), siamo alla fine del XX secolo e sono già noti i risultati

di Gregorio Ricci Cubastro e Tullio Levi Civita sullo sviluppo dell’algebra tensoriale (1885) che furono poi utilizzati da Einstein per il suo modello di Geometria dello spazio curvo per la Teoria della Relatività.

del matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) che, dopo le dispute sulla crisi dei fondamenti e le discussioni sul postulato delle parallele, nel 1872 aveva pubblicato il Programma di Erlangen, dove individuava il nocciolo unificante delle varie geometrie nel concetto di Gruppo di Trasformazioni.

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Condizionamenti della politica all’evoluzione dell’insegnamento

La storia della "Mathesis "fu inevitabilmente condizionata dalle due grandi guerre (1915-1918 e 1940-1945) e, nella parentesi tra i due conflitti, dal ventennio fascista.

Gli eventi bellici e i condizionamenti del regime limitarono l’attività dell’associazione nel periodo tra il 1915 e il 1945, per cui i presidenti attivi in quegli anni non poterono mettere in atto una serie di iniziative che avrebbero lasciato un segno più significativo della loro opera.

Dopo la fine del primo conflitto mondiale, l’attività della "Mathesis" fu rilanciata da Federigo Enriques Presidente dal 1919 al 1932.

In quegli anni, a seguito della Riforma Gentile, che poneva la Geometria euclidea come pilastro intoccabile da parte dei docenti e l’insegnamento del Latino come prevalente rispetto all’insegnamento della Matematica, ci furono discussioni e vibrate proteste da parte della stessa "Mathesis", i cui soci espressero parere estremamente sfavorevole, anche perché l’insegnamento della Matematica venne abbinato a quello della Fisica, per cui si riduceva ancora di più il tempo da dedicare alla Matematica.

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La riforma Gentile

Infatti, nel 1923, Giovanni Gentile aveva emanato la sua riforma con i 12 regi decreti in cui assumeva grande peso la cosiddetta "cultura umanistica", quasi come se la Matematica non contribuisse allo sviluppo del pensiero umano. Gentile così si esprimeva:

«L’istruzione classica serve a preparare i quadri dirigenti del Paese e ad essa viene posta una particolare attenzione che si concentra sull’insegnamento del latino e del greco, e poi, della filosofia e della Storia delle tradizioni e della passata grandezza. È importante che il maestro sappia di latino in modo che sia "colto in generale».

Questa concezione, in cui la matematica rappresentava l’unica disciplina di insegnamento formativo che non veniva citata, era pienamente condivisa da Benito Mussolini che nell’articolo su "La Nuova Scuola Italiana" del 23 dicembre 1923, Discorso agli universitari fascisti, scriveva:

«Sono cinquanta anni che si dice che la scuola va riformata e la si critica in tutti i modi. Il governo fascista ha bisogno della classe dirigente. Nell’esperienza di questi 14 mesi io ho veduto che la classe dirigente fascista non c’è. Non posso improvvisare i funzionari in tutta l’amministrazione dello Stato. Ecco le ragioni profonde della riforma Gentile: di quella che io chiamo il più grande atto rivoluzionario osato dal governo fascista in questi mesi di potere».

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Reazioni al Modello gentiliano

Le proteste all’interno della "Mathesis" furono forti ma anche conflittuali, perché alcuni esponenti di elevato spessore, tra cui Francesco Severi, Giulio Andreoli e Mauro Picone, simpatizzavano per il regime.

In particolare, Giulio Andreoli fu epurato nel 1944 dal Rettore dell’Università di Napoli Adolfo Omodeo, in quanto coinvolto con il regime fascista (era stato anche comandante della piazza di Napoli durante le quattro giornate) e viveva, completamente isolato dal mondo, in un noto convento ai Camaldoli, sulla collina del Vomero a Napoli fino a quando Angelo Fadini (Presidente Mathesis negli anni ‘80) si adoperò per fargli riprendere la cattedra all’Università, non a Matematica, ma ad Architettura.

Gli anni cinquanta sono stati caratterizzati da grandi sforzi all’interno della Mathesis per recuperare quanto perso a causa degli eventi bellici, principalmente per merito di Oscar Chisini, presidente nel periodo 1948-1943. Ma la svolta si è avuta nel Congresso a Napoli nel 1959 con la presidenza di Eugenio Giuseppe Togliatti (Segretario Aldo Morelli), a cui successe Tullio Viola che aveva manifestato grande sensibilità umana e politica quando nel 1943 nascose nella propria casa e ospitò per lungo periodo Guido Castelnuovo con la moglie negli anni in cui furono perseguitati dai fascisti per le leggi razziali.

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Oscar Chisini e la Geometria Proiettiva

Una citazione a parte la riservo a Oscar Chisini, presidente Mathesis nel periodo 1948-1953 e Direttore del Periodico della Matematica fino al 1967, che riprese la pubblicazione degli «Atti della Mathesis» nel 1948 che era stata interrotta a causa della guerra nel 1941.

Nel settembre del 1951, Chisini organizzò a Pavia un Congresso nazionale durante il quale fu richiesto che il Liceo Scientifico consentisse l’accesso a tutte le Facoltà universitarie.

Oscar Chisini è stato professore e autore di libri di Geometria Proiettiva dove esponeva le dimostrazioni del teorema di Pappo e del teorema dei triangoli omologici, utilizzando l'invarianza delle proprietà proiettive delle figure secondo il metodo di Poncelet.

Un anno prima della sua morte, in occasione di una commemorazione di Federigo Enriques, Chisini scriveva in un suo articolo (Paolo Linati, Convegno Rimini 2018):

«Supponete che sul Pianeta Marte vivano degli esseri razionali che conoscano la geometria, e che pensino che sulla Terra sussistano altri esseri analoghi a loro e vogliano mettersi in corrispondenza con questi. Uno scienziato di Marte pensa di tracciare sul terreno un'enorme figura, la quale realizzi un teorema di geometria che gli uomini riconoscano; questo scienziato non ricorrerà al teorema di Pitagora, la cui figura verrebbe deformata dalla prospettiva, ma invece, per esempio, al teorema di Pappo, invariante appunto per qualunque proiezione; ed allora gli uomini si capiscono e rispondono trasmettendo, ad esempio, il teorema dei triangoli omologici»

Al fondo di questo discorso vi era la sottolineatura delle proprietà invariantive.

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La Matematica negli anni ‘60 e ‘70: Tullio Viola e Bruno de Finetti

1961-1962: Prima delle tre modifiche ai programmi della riforma Gentile del 1923.

Nel 1961 fu nominata una commissione U.M.I.-C.I.I.M. a Frascati che ebbe il compito di elaborare nuovi programmi di Matematica per i licei.

I programmi di Frascati presentano un primo ampliamento nella trattazione della Geometria rispetto alla impostazione euclidea:

per il terzo anno si fa riferimento al piano vettoriale geometrico e ai gruppi delle congruenze e delle similitudini nel piano,

per il quarto anno si passa allo spazio vettoriale geometrico,

per il quinto anno si fa menzione dello spazio vettoriale astratto (Morelli, 1985).

Le risultanze della commissione furono discusse nell’ambito del Convegno U.M.I. del 5 ottobre 1963, a cui parteciparono esponenti della C.I.I.M. e della Mathesis (Protesta Viola con M.P.I.).

La seconda modifica alla riforma Gentile è del 1985 con il P.N.I., la terza è del 1988 con il Progetto Brocca.

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La Matematica negli anni ‘60: Tullio Viola con Emma Castelnuovo

La visione di Tullio Viola a favore dell’insegnamento della Geometria secondo un modello più ampio si evince da un articolo pubblicato sulla rivista «Archimede» nel 1956 dove, citando una sua esperienza con ragazzi dei primi anni della Scuola Media, scrive:

«Ho ripetutamente sperimentato in classi di bambini dai 10 ai 12 anni l’insegnamento di qualche semplice proiezione, nel sistema di Monge, di solidi geometrici, con relative operazioni di sezioni piane e ribaltamenti di sezioni piane. E sono stato lentamente sorpreso del grande interesse e della facilità di apprendere dei bambini».

Questa esperienza era maturata collaborando con Emma Castelnuovo, il cui contributo all’insegnamento, negli anni ’60 e ’70, è stato significativo per l’ampiezza delle sue idee sull’esigenza di insegnare una Geometria non astratta, ma dinamica e aderente all’evoluzione del mondo reale. A tal proposito Emma, così si esprime:

«Quando si inizia lo studio della Geometria, si deve attirare l’attenzione sulla realtà che ci circonda: l’area dei campi, i perimetri, la realtà; si deve poter osservare, misurare».

I testi in commercio non aiutavano i suoi allievi; erano manuali con poche fi gure, carichi di formule ed esercizi, per cui Emma - che aveva deciso di insegnare esclusivamente nella Scuola media - cominciò a scrivere basandosi sulle sue esperienze in classe.

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Matematica negli anni ’70: Bruno de Finetti sul modello di Klein

Nel 1972 con Bruno de Finetti rinacque il «Periodico di Matematiche» e nel primo articolo, dal titolo «La Mathesis e l’ansia di rinnovamento nella Scuola», de Finetti citava un brano del Matematico tedesco Felix Klein in cui, all’inizio del secolo, Klein analizza e fa un confronto sullo stato dell’insegnamento della Matematica nei vari paesi.

«Anche nell’insegnamento medio in Italia si fanno valere negli ultimi tempi tendenze di riforma che, del tutto nel senso dei movimenti tedesco e francese, rifiutano la considerazione della logica astratta e la angusta aderenza alla materia di Euclide, e intendono vivificare l’insegnamento mediante momenti intuitivi, e mediante il riferimento alle applicazioni. Il promotore di questo movimento è Gino Loria, che nel 1904 al 3° congresso internazionale dei matematici a Heidelberg ha parlato sulle sue proposte di riforma in un’interessante relazione alla società italiana di insegnanti Mathesis»

Klein aveva dato in Germania una svolta all’insegnamento con l’introduzione delle Trasformazioni geometriche attraverso la Geometria Proiettiva, tema continuamente richiamato da de Finetti in alcuni articoli della sua produzione scientifica.

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La Matematica negli anni ’70: Bruno de Finetti e l’impegno politico

L’impegno di de Finetti andava oltre lo studio e la divulgazione della Matematica. Egli era molto attento ai problemi di carattere sociale, cosa che gli comportò nel 1977 anche qualche ora in carcere con un arresto «per l’istigazione dei militari alla disobbedienza». Nel numero del Periodico n. 3/4 del 1977 de Finetti così descriveva l’episodio (B. de Finetti, 1977).

«Fui arrestato (il 18-11-1977) al termine della cerimonia inaugurale dell’anno accademico ai Lincei, come da appuntamento da me dato alla Polizia; condotto in questura e quindi al carcere di Regina Coeli, si seppe che l’ordine di cattura sarebbe stato revocato e appena ne giunse conferma ufficiale fui rilasciato (insieme ad altri tre compagni). La stampa diede molto risalto a tale notizia, ed anche la TV trasmise interviste fattemi prima dell’arresto».

In quel periodo l’impegno politico-sociale da parte di esponenti importanti della Mathesis era molto sentito, come dimostra l’attività di Lucio Lombardo Radice, vice-presidente Mathesis durante la presidenza de Finetti per due mandati, nel periodo 1970-1976.

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Matematica/Politica negli anni ’70: Lucio Lombardo Radice

Lucio Lombardo Radice, allievo di Guido Castelnuovo e Federigo Enriques, per la sua duttilità di conoscenze che andava oltre la Matematica e la Fisica, fu uno dei maggiori esponenti della Cultura italiana nei decenni successivi al secondo conflitto mondiale.

Politico con militanza attiva nel Partito Comunista negli anni del dopoguerra, già precedentemente, nel 1939, non poté prendere servizio come assistente alla cattedra di Geometria analitica perché fu arrestato e condannato a quattro anni di reclusione in quanto oppositore al regime fascista. Solo nel 1945 fu ammesso come assistente all’Università La Sapienza di Roma e fu l’inizio di una brillante carriera come professore universitario.

Tra i matematici di quel periodo, Lombardo Radice fu tra i più convinti propositori di una Geometria più ampia nell’insegnamento, come si evince dai volumi prodotti con Lina Mancini Proia e adottati in tante scuole: «Il metodo matematico».

Pedagogista, didatta, scrittore, tra il 1970 e il 1973 fu consulente scientifico per il film in tre puntate Non ho tempo, incentrato sulla figura di Evariste Galois, nel quale lo stesso Radice recitò nel ruolo del professor Louis Paul Emile Richard.

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La Matematica negli anni ‘80: P.N.I. e Progetto Brocca

Negli anni ’80, con la presidenza di Angelo Fadini prima e di Bruno Rizzi dopo, sono state realizzate le altre due modifiche alla riforma Gentile dopo la prima del 1963.

Nel 1985 il Ministro della P. I. Franca Falcucci introdusse la seconda modifica ai programmi Gentile del 1923 con la sperimentazione del P.N.I. Con il P.N.I. l'insegnamento della Matematica è stato affiancato dagli strumenti informatici e dall'uso del computer.

Nel 1988, il ministro della P. I. Giovanni Galloni, diede vita alla terza riforma e istituì una Commissione per procedere alla revisione dei programmi dei primi due anni dell’istruzione secondaria di secondo grado; in seguito la Commissione fu incaricata di estendere il lavoro anche ai programmi del triennio. Coordinatore fu nominato il sottosegretario alla P.I. Beniamino Brocca, da cui il nome «Commissione Brocca».

I piani di studio Brocca, sempre in riferimento alla Matematica, recepirono molte delle indicazioni dei programmi di Frascati e del P.N.I. in particolare nel campo della Geometria e, più specificamente, della Geometria basata sulle Trasformazioni geometriche (A. Morelli, 1985).

 

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Il Progetto Brocca e la Geometria proiettiva

Relativamente al piano di studi Brocca, fu inserito un Progetto sulle interrelazioni tra l'insegnamento della Matematica e del Disegno che teneva conto dell'utilizzo delle nuove tecnologie.

Bruno Rizzi coordinò la parte del Progetto relativa alla Matematica insieme al prof. Cesare Cundari, coordinatore per il Disegno e ispiratore del Progetto, che aveva come obiettivo:

1. Per il Disegno, l'utilizzo delle tecniche informatiche (CAD, GET, CABRì...) che sostituivano la riga e il compasso.

2. Per la Matematica, l'esigenza di educare i docenti (e successivamente gli studenti) alle conoscenze fondamentali della Geometria su cui erano basate le nuove tecniche, ovvero la Geometria Proiettiva, che negli ultimi decenni era stata di fatto esclusa dai programmi di insegnamento nelle Università.

Relativamente alla stesura del percorso di Matematica ed alla produzione delle risultanze dei lavori, fu incaricato Ferdinando Casolaro, su indicazione di Bruno Rizzi.

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Quale Geometria per le tecniche informatiche?

Per la divulgazione del Progetto nelle scuole, tra il 1993 e il 1997, su comando del M.P.I. il referente per il Disegno ed il referente per la Matematica (F. Casolaro) hanno tenuto Seminari in compresenza nelle varie regioni d’Italia.

La raccolta dei temi trattati è in bibliografia (C. Cundari, 1992) alle pagine 73-78; 85-118; 205-268 di un volume che il M.P.I. distribuì nei bienni delle Facoltà di Architettura e di Ingegneria Civile, negli ITG e negli ITIS a indirizzo edile; precisamente nelle strutture istituzionali in cui era previsto l’insegnamento del Disegno (F. Casolaro, 1996).

Con l’avvento della Riforma Gelmini nel 2008 questa sperimentazione è stata eliminata ed è confluita nel nuovo indirizzo tradizionale del Liceo Scientifico.

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I mutamenti negli anni a cavallo del XX e XXI secolo

Nel periodo 1994-2008, l’insegnamento della Matematica è stato principalmente basato sulle «sperimentazioni»

Si sono succeduti alla presidenza della Mathesis

Silvio Maracchia, che ha dato molto risalto all’insegnamento della Storia.

- Franco Eugeni, il cui impegno è stato caratterizzato principalmente dalle applicazioni moderne della Matematica, in particolare dalla crittografia.

- Andrea Laforgia, che ha presieduto la Mathesis nel periodo dei cambiamenti con la riforma Moratti che ha investito anche le Università.

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Perché mi fermo al 2008?

Nel lavoro che ho presentato, pubblicato su ArteScienza N. 10-dicembre 2018, si tralascia la descrizione dei fatti avvenuti negli ultimi dieci anni in cui la Mathesis e le scelte ministeriali per l’insegnamento hanno preso una linea diversa dall’evoluzione descritta.

La Mathesis è nata e si è sviluppata nel periodo in cui il processo scientifico-tecnologico imponeva cambiamenti ai metodi di insegnamento, che non potevano limitarsi a concetti strettamente matematici ignorando le applicazioni nel mondo della Fisica ed oggi anche dell’Economia e della Comunicazione.

Il contributo che ad essa ha dato la nostra associazione si può sintetizzare nei due punti che indichiamo di seguito, da cui si comprende anche il cambiamento delle finalità della Mathesis nell’ultimo decennio rispetto ai più dei cento anni precedenti:

1. Le modifiche ai programmi della riforma Gentile del 1923 sono state messe in atto nella seconda metà del secolo scorso. In particolare, nel Progetto Brocca del 1988, si riscontrano significativi inserimenti di argomenti che tengono conto dello sviluppo della Scienza negli ultimi due secoli, come lo studio dei primi elementi di Geometria Proiettiva e della Geometria Affine che, dal calcolo vettoriale attraverso il passaggio all’analisi locale, conduce allo studio dello spazio curvo, universo geometrico su cui è basato lo sviluppo della Teoria della Relatività Generale.

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La riforma Gelmini

La riforma Gelmini del 2010 (in atto dal 2012), pur contenendo nelle "Indicazioni nazionali" e nelle "Linee guida dei richiami ad alcune delle tematiche sviluppate nei cinquant’anni precedenti, ha annullato totalmente le sperimentazioni che sicuramente avevano dato risultati significativi.

Oggi il MIUR è orientato ad un quasi-ritorno al modello gentiliano a cui si è allineata la "Mathesis" nazionale che, per la prova finale di Matematica al liceo scientifico riporta (www.mathesisnazionale.it) la presentazione de "La lista degli argomenti di matematica che occorre studiare: sono 27, come da Decreto ministeriale del 26 novembre 2018".

Come si può constatare dalla consultazione del sito, tra i 27 argomenti da studiare non c’è alcun riferimento a temi di geometria che vanno oltre il Modello euclideo.

Anche relativamente allo studio di semplici equazioni differenziali, la cui conoscenza è fondamentale per l’analisi locale nelle applicazioni ai fenomeni fisici, non si fa alcun riferimento pur essendo l’argomento ufficialmente inserito nelle Indicazioni nazionali.

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La funzione operativa delle sezioni Mathesis

2. La crescita della "Mathesis", oltre alla citata produzione scientifica che tiene conto degli sviluppi negli ultimi due secoli, è avvenuta attraverso l’attività delle sezioni.

Dal 2009, con la presidenza di Emilio Ambrisi, di cui durante il primo triennio il sottoscritto è stato Segretario nazionale, le attività della "Mathesis", seppur non in forma ufficiale, sono state caratterizzate da una maggiore centralizzazione della figura del presidente.

A dimostrazione di ciò, nell’ultima Consulta del 29-30 settembre 2018 è stato presentato un nuovo regolamento che, se approvato, restringerebbe l’autonomia e la funzione delle sezioni.

Pertanto, in attesa dello sviluppo ufficiale della linea che l’associazione avrà in futuro e di una approfondita e corretta analisi da parte nostra degli effetti della riforma Gelmini, operativa ancora come periodo iniziale, ci riserviamo di completare la descrizione in un prossimo lavoro.

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Bibliografia

- C. Cundari 1990-1991- Atti del Progetto del M.P.I. e del Dipartimento di Progettazione e Rilievo dell’Università "La Sapienza" di Roma (11-15 dicembre 1990; 6-10 maggio 1991; 812 dicembre 1991): "Disegno e Matematica per una didattica finalizzata alle nuove tecnologie"

- G. Loria (1921) - Storia della Geometria Descrittiva dalle Origini sino ai giorni nostri - Milano, Ulrico Hoepli, 1921.

- F. Casolaro F., Eugeni F. 1995: "Trasformazioni geometriche che conservano la norma nelle algebre reali doppie". Ratio Matematica n. 1, 1996 – pag. 23-33.

- Casolaro F. 1995: "La Matematica nello insegnamento della Fisica". Atti del Convegno Nazionale Mathesis 1995, Roma, pag. 363-368.

- Casolaro F., Cirillo L. 1996: "Le trasformazioni omologiche". Convegno Nazionale Mathesis Verona, 1996 - pag. 309-318.

- Casolaro F. 1997: "Modello geometrico non euclideo per lo spazio fisico", Convegno "Metodi di rappresentazione dell’incertezza nell’Architettura", Pescara, 1997 - pag.103-106.

- Casolaro F., Santarossa R.1997: "Geometrie non euclidee e geometria differenziale: note didattiche", Congresso Nazionale Mathesis Caserta 1997 - pag. 213-219.

- Casolaro F. 2002, Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico su uno spazio curvo". Congresso Nazionale Mathesis Bergamo 2002, pag.185-198.

- Casolaro F. 2003: "Le trasformazioni omologiche nella Storia, nell'Arte, nella Didattica" - Convegno Internazionale "Matematica e Arte", Vasto, 2003; pagg. 129-148.

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Bibliografia

- F. Casolaro, A. Rotunno 2003: "Presentazione di un percorso didattico di Geometria Proiettiva: Trasformazioni geometriche nell’arte" - aifnapoli2.blogspot.com- Relazioni tra Fisica e Matematica

- F., Pisano R. 2006: "Riflessioni sulla geometria nella Teoria della relatività", XXVI Congresso Nazionale di Storia della Fisica e Astronomia SISFA, pag. 221-231.

- F. 2008: "L’evoluzione della Matematica attraverso quattro congetture fondamentali sull’osservazione del mondo fisico". Convegno AIF 2008, pag. 71-83.

- Casolaro F. Casolaro I. (2009): Appunti del Corso di Geometria al Dipartimento di Architettura dell’Università di Napoli Federico II.

- Casolaro I., Miglionico M.C. (2010): "Dal piano euclideo al piano proiettivo: rappresentazioni di I e II grado". Epistemologia Didattica. Ed. Laveglia&Carlone

- Casolaro F., Pisano R. 2011: "An Historical Inquiry on Geometry in Relativity: Reflections on Early Relationship Geometry-Physics", History Research pag. 47-60.

- Casolaro F., Prosperi R. (2011): Atti della Scuola Estiva di Terni, 2011"La Matematica per la Scuola Secondaria di II grado". Editore 2C Contact.

- Casolaro F., R. Pisano (2011): "An Historical Inquiry on Geometry in Relativity: Reflections on Early Relationship Geometry-Physics (Part One)" - History Research - Vol. 1, Number 1, December 2011 - pag. 60.

- F., Paladino L. 2012: "Evolution of the geometry through the Arts".- 11th International Conference APLIMAT. Slovak University in Bratislava, pag. 481-490.

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Bibliografia

- Casolaro F. Pisano R. (2012): "An Historical Inquiry on Geometry in Relativity: Reflections on Early Relationship Geometry-Physics (Part two)" - History Research - Vol. 1, Number 1, December 2012 - pag. 57-65.

- Casolaro F., Paladino L. 2012: "Evolution of the geometry through the Arts" - 11th International Conference APLIMAT 2012 - in the Faculty of Mechanical Engineering - Slovak University of Tecnology in Bratislava, pag. 481-490.

- Casolaro F. 2013: "L'evoluzione della geometria negli ultimi 150 anni ha modificato la nostra cultura. Lo sa la Scuola?" Convegno "Euclide...oltre Euclide" C.mmare di Stabia, 2013.

- F. Casolaro F. Cirillo L., Prosperi R. (2015), "Le Trasformazioni Geometriche nello Spazio: Isometrie" – Journal of Epistemology, Science e Philosophy - Number 3 June 2015. Pagine 73-106.

- Casolaro F., Rotunno A. (2015): "Mathematics and Art: from the pictorial art to the linear transformations". University of Defence - Brno, Czech Republic, ottobre 2015.

- Casolaro F. Cirillo L., Prosperi R. (2016), "Groups of Transformations with a Finite Number of Isometries: the Cases of Tetrahedron and Cube". Ratio-Matematica, Volume 31 - 2016, pagg. 93-110.

- Casolaro F., Trotta A. 2017, "Il modello standard ed oltre … Il bosone di Higgs"– Corso di Formazione per l’insegnamento della Fisica - Quaderni APAV, aprile 2019.