Una freccia colpisce il bersaglio ? Quale freccia ?

Ipotesi 13- Una delle tre, lanciata forse da B forse da C ma sicuramente non da A, mentre le altre due non si sa se andranno, o no, anche loro a segno 
evento E13="Una freccia, lanciata o da B o da C, colpisce il bersaglio"
Tre frecce vengono lanciate contro un bersaglio da tre arcieri.
Poiché i tre arcieri sono a distanza diversa dal bersaglio, si stima in 3/5 la probabilità dello arciere A di colpire il bersaglio, in 1/2 quella dell'arciere B e in 4/5 quella dell'arciere C.
Se se una freccia colpisce il bersaglio, qual è la probabilità che sia dell'arciere A?

Soluzione n.2

Sappiamo che la frequenza teorica ossia la probabilità del bersaglio di essere colpito è 50% quando il tira B, 80% quando tira C e che quindi P(B)=50% P(C)=80%
Consideriamo l'evento 
X="Il bersaglio viene colpito da un arciere X, forse B, forse C"
E' evidente che X implica E13 e viceversa E13 implica X e che, quindi,
i due eventi sono logicamente equivalenti  
Si trova facilmente che P(E13)=P(X)=(P(B)+P(C))/2=65%=13/20
(La media aritmetica delle probabilità di andare a segno)

consideriamo poi i due su tre eventi incompatibili su cui ripartire il 100% di probabilità:
XB="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere B"
XC="Il bersaglio è stato colpito dall'arciere C"

Le quote di probabilità si trovano facilmente in ragione dei contributi
probabilistici relativi ai singoli arcieri:

Ovviamente per ipotesi P(XA)=0

P(XB)=P(B)/(P(B)+P(C))=50%/(50%+80%)=5/13
P(XC)=P(C)/(P(B)+P(C))=80%/(50%+80%)=8/13
 

Risposta

Se una freccia tirata, forse da B, forse da C colpisce il bersaglio  la probabilità che sia di A è 0.
La probabilità che sia di B è 5/13 e quella che sia di C è 8/13
 

 Soluzione n.1