Dopo lunghe riflessioni insieme ai matematici di corte  il re capì molto bene come, non solo nessun intero, come sapeva anche prima, ma anche nessuna frazione, al quadrato, poteva dare 2.
 Più in generale si accorse che nessuna  frazione  dopo l'elevazione al quadrato può diventare semplificabile se non lo era già prima. Questo perché i numeri interi possono essere scomposti in fattori primi in un solo modo e quindi quando un numero si moltiplica per se stesso i fattori primi raddoppiano le proprie copie  senza che nessun nuovo fattore primo possa mai comparire. Guardando per esempio 21 che è 3*7 diventare, al quadrato, 441 che è 3*7*3*7 , è facile comprendere come  i fattori primi rimangano 3 e 7 non potendo cambiare neanche se si elevasse al cubo o a potenza superiore.  E così, dato che le frazioni sono identificate da due numeri interi, il numeratore che conta i passi del quadrato misurante e il denominatore che lo identifica, nessun nuovo fattore, può comparire dopo l'elevazione al quadrato della frazione. Dato che per poter semplificare una frazione serve un fattore comune ai due numeri che la compongono non c'è alcuna speranza  che una qualche frazione non semplificabile,  possa semplificarsi dopo essere stata moltiplicata per se stessa. Dunque, in particolare, non esiste una frazione che al quadrato dia 2. E questo conferma, per altra via, il risultato del torneo.

Il re capì anche che di punti come quello del torneo a cui corrispondono numeri diversi che chiamò irrazionali ce ne erano molti di più di quanto non sospettasse. Tanto che, per colmo di irrazionalità, - continuò suo malgrado a pensare- se si pescasse un punto a caso su quella semiretta, la probabilità di sorteggiare un punto di quelli segnati dai suoi fedeli sudditi, e quindi una frazione cioè un numero razionale, non solo è molto bassa ma è proprio zero! Proprio come se l'evento, pur  evidentemente possibile, essendoci infiniti punti corrispondenti a frazioni ammassati oltre ogni immaginazione, fosse impossibile!

Dunque, per quanto possa sembrarci strano,  quella massa infinita e infinitamente densa di punti marcati dal sovrumano lavoro del nostro re e dei suoi sudditi si diluiscono, sulla retta, in un mare infinitamente più vasto.  Tanto che i nostri punti con nome di frazioni in realtà risultano, usando l'immagine poetica con cui Virgilio nell'Eneide descrive i naufraghi sperduti  nel mare immenso dopo la tempesta,
 " RARI NANTES IN GURGITE VASTO "
Si accorse infatti, il nostro bravo re matematico,  che le frazioni possono essere rappresentate come numeri decimali (1) periodici mentre gli irrazionali come numeri decimali (1) non periodici. Se si prende dunque un punto a caso e, quindi, un numero a caso, anche le cifre dopo la virgola sono a caso. Ma quando le cifre escono a caso la loro periodicità, andando avanti, ha infinite opportunità di rompersi e, prima o poi, realisticamente, si romperà. 

Nota
Per la verità il re avendo, come i suoi sudditi quattro lati, nel rappresentare i numeri, non usava come noi la base 10, ma la base 4. Dato però che questo particolare non cambia la sostanza del suo ragionamento  si è preferito non complicare inutilmente la questione.

finefine